f(t)= t² + 1

Área = 24

    Si mantenemos fijo el extremo izquierdo del intervalo [a,b] y cambiamos el extremo derecho, obviamente cambiará el valor del área. Entonces el área bajo la curva será una función del valor del extremo derecho del intervalo.

    Si llamamos x al extremo derecho del intervalo, entonces área=A(x). Observa la siguiente animación. 
 
Al observar las gráficas anteriores se observa que 
  
 

Lim f(x+dx) = f(x) dx0 y entonces, como    A(x+dx) - A(x)   f(x) < [ ] < f(x+dx)   dx   tenemos que     A(x+dx) - A(x)     Lim f(x)  Lim [ ] Lim f(x+dx) dx0 dx0 dx   dx0 entonces  f(x)  A'(x) f(x)   y por lo tanto A'(x) = f(x) Recordando que     tenemos entonces el s   x   A(x) = área bajo f(t) desde a hasta x =    f(t) dt   a   Siguiente teorema:

Teorema Fundamental del Cálculo, primera parte: Sea f(x) una función continua en un intervalo abierto que contiene al número a. Sea    x A(x) =    f(t) dt   a   Entonces  A'(x)=f(x)

    El teorema anterior nos dice que A(x) es una antiderivada de f(x), puesto que A'(x)=f(x). Sabemos que dos antiderivadas de una misma función difieren en una constante. Entonces, si F(x) es otra antiderivada de f(x), debemos tener que F(x)-A(x)=C (constante).

    Si evaluamos la expresión anterior en x=a, entonces F(a)-A(a) = C. Pero A(a)=0, porque sería el área desde el valor inicial hasta el valor inicial, entonces C=F(a).

    Por lo tanto F(x)-A(x)=F(a). Evaluando ahora esta última expresión en x=b, tenemos que F(b)-A(b)=F(a), obteniendo finalmente que: 
 

A(b)=F(b)-F(a)

 

			b
Como	A(b) =			f(t) dt	nos dá el siguiente teorema:
			a

 

 

Teorema Fundamental del Cálculo, segunda parte: Sea F(x) una antiderivada de f(x), entonces:    b     f(x) dx  = F(b) - F(a) a

    Esto significa que para encontrar el valor de una integral definida, ¡ya no tenemos que evaluar el límite de la suma de Riemann!

    Ahora veamos ejemplos de la aplicación del teorema anterior.

 

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Ejemplo 1:

a=1; b=3 f(x) = x3 + 2x - 1      x4    antiderivada F(x) =  + x2 - x   4   F(b) - F(a) = F(3) - F(1) = 26 El valor de la integral definida es 26

 

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Ejemplo 2:

a=/2; b=3

f(x) =	cos(3x)
	sen(3x)
antiderivada F(x) =
	3
				1
F(b) - F(a) =	F(3) - F(		)=
		2		3
				1
El valor de la integral definida es
				3

Como ves, el valor del área sombreada es una función de x, A(x). 
 

    Observa las dos gráficas anteriores y luego analiza las siguientes gráficas para que veas la diferencia de las áreas.
 

 

    Observa que el área roja es menor que f(x+dx)dx y mayor que f(x)dx. Es decir, f(x)dx < A(x+dx)-A(x) < f(x+dx)dx. Dicho de otra manera: 
 

	A(x+dx) - A(x)
f(x) < [		] < f(x+dx)
	dx

    En las siguientes gráficas observaremos que pasa cuando hacemos que dx0.