Los puntos útiles de una función son aquellos cuya coordenada x o y se anula.

• Intersecciones con los ejes ya que corta el eje x o y. Un punto (a, 0) es una x-intersecciones de la gráfica de una ecuación si es un punto de la solución de la ecuación. Para lo mismo será y-intersecciones (0, b) cuando la gráfica de la ecuación sea una solución de la misma.

Para determinar el número de x-intersecciones:

• Igualamos la y a cero. y=0.

• Resolvemos la ecuación para x (mediante la fórmula general de binomios, Ruffini…)

  Para determinar el número de y-intersecciones:

• Igualamos la x a cero. x=0.

• Resolvemos la ecuación para la y.

  Ejemplo

  Encontrar el número de intersecciones con los ejes de la gráfica y=x³- 4x.

  (Determinación de x-intersecciones).

• Igualar y a 0 y se aísla x.

  x³- 4x = 0

• Resolución de la ecuación (factorizar)

  x (x - 2)(x+2) = 0

• De esta manera se conoce que:

  X1 = 0 f (0) = 0 (0, 0)

  X2 = 2 f (2) = 0 (2, 0)

  X3 = -2 f (-2) = 0 (-2, 0)

  (determinación de y-intersecciones)

• Igualar x a 0.

  X=0 f (0) = 0

  Por lo tanto, dicha ecuación no corta explícitamente el eje de las y.
  
  Aproximar los ceros de una función

  Método de Newton

  • Sirve para aproximar ceros de una función.

  • Utiliza las rectas tangentes para aproximar la gráfica de la función cerca de sus x-intersecciones.

  Para ver como funciona:

  PROBLEMA 1

  Datos

  Función f (x) continua para [a, b]

  Derivable para (a, b)

  Si f (a) y f (b) son signos opuestos CORROBORA que almenos existe un cero de la función f (x) para el intervalo (a, b).

  Como primera estimación sabemos que x = x1.

   

  Se basa en que la gráfica f (x) y la recta tangente en (x1, f (x1)) cruzan el eje x por el mismo punto. Al ser relativamente fácil calcular la x-intersección de la recta tangente, podemos usarla como segunda estimación (mejor que la 1ª) para el cero de f (x). La recta tangente pasa por el punto (x1, f (x1)) con pendiente = f' (x1). En forma punto-pendiente, la ecuación de esa recta tangente es, por tanto:

  y - f (x1) = f' (x1) (x- x1)

  y = f' (x1) (x- x1) + f (x1)

  Desarrollando y = 0, y despejando x, obtenemos

   

  Así pues, de la primera estimación x1 hemos pasado a una nueva estimación:

   

  Podemos mejorar x2 calculando la tercera estimación:

   

  La aplicación reiterada de este proceso nos llevará a un resultado mucho más fiable y menos inequívoco.