TEMARIO DE CALCULO - 1.4 DESIGUALDADES

DESIGUALDADES

El campo de los números reales posee la propiedad de orden, es decir tiene lugar la tricotomía de los números reales,
a saber que para todo par   a , b tiene  lugar una y solo una de las tres relaciones siguientes: a > b , a < b , a = b .

Donde  a > b  significa por definición que  a - b  es positivo, mientras que  a < b  significa por definición que  a - b
  es negativo. En símbolos, por definición:

A diferencia del campo de los números reales el campo de los números complejos no es ordenable. Para los números
complejos los conceptos de "mayor que" y "menor  que" no están definidos y por ello en este tema de desigualdades
nos  restringiremos a los números reales.

Por definición a las relaciones  a > b   y   a < b  se les llama desigualdades, a los números a y b primero y segundo
miembros (o partes) de la desigualdad y los símbolos > y <  los signos de relación de orden. De la definición mis -
ma de desigualdad de inmediato se concluye que:

1. Todo número positivo es mayor que cero. En símbolos:

2. Todo número negativo es menor que cero. En símbolos:

3. Todo número positivo p es mayor que cualquier número negativo n. En símbolos

p > n

4. De 2 números negativos es mayor aquel,cuyo valor absoluto sea menor.En símbolos:

  Todas estas afirmaciones admiten una interpretación geométrica bastante simple.Para ello hay que recordar que al
   conjunto de los números reales se le puede poner en correspondencia biunívoca con los puntos de una recta; y que
   la relación de orden en el conjunto, se traduce en la recta en tener una orien ación, es decir, en que a la recta numé-
   rica se le da una dirección positiva mediante una flecha, precisamente la que se indica hacia la derecha a partir del
   punto inicial (correspondiente al 0). Entonces cualesquiera que sean los signos de los números, el mayor de ellos
   se representa por el punto que se encuentra más a la derecha en su representación geométrica.

Figura 1

a < b

Las desigualdades poseen las siguientes propiedades básicas:

1 Propiedad 1 de asimetría (o irreversibilidad):

Algunas Propiedades Importantes.

Sea a < b.

Si n > 0, entonces

na < nb,

a/n < b/n,

aⁿ < bⁿ (si a, b > 0).

Si n < 0, entonces

na > nb,

a/n > b/n,

aⁿ > bⁿ (si a, b > 0).

ab > 0 Û (a > 0 y b > 0) o (a < 0 y b < 0)

ab < 0 Û (a > 0 y b < 0) o (a < 0 y b > 0)

Notación de Intervalos y Notación de Conjuntos

Desigualdad

Notación de Intervalo

Notación de Conjuntos

a < x < b

(a, b)

{x Î R : a < x < b}

a < x £ b

(a, b]

{x Î R : a < x £ b}

a £ x < b

[a, b)

{x Î R : a £ x < b}

a £ x £ b

[a, b]

{x Î R : a £ x £ b}

x > a

(a, ¥)

{x Î R : x > a}

x ³ a

[a, ¥)

{x Î R : x ³ a}

x < b

(-¥, b)

{x Î R : x < b}

x £ b

(-¥, b]

{x Î R£ b} : x